Stratified Sampling（分层抽样法）

🧩 一、核心思想（Intuition）

先将样本空间划分为若干层（strata），再在每一层内独立均匀地采样，最后按层权重加权求平均。

🧠 二、数学形式

💡 三、最优分配 Neyman allocation

• 抽得更多的层应该是权重大、方差高的层；

• 这样整体估计的精度最高。

💡 四、直观解释

• 普通蒙特卡洛：
随机撒点，可能某些区域抽得多，某些区域抽得少。

• 分层抽样：
先分好区域，再确保每个区域都有样本。
因此估计值更稳定、方差更小。

类比：调查一个国家的平均收入时，如果随机抽样可能全在城市，

而分层抽样会确保城市、农村、沿海、内陆都有样本。

🧮 五、例子：估计积分

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 目标函数
def h(x):
    return np.exp(-x**2)

# 真值（近似）
true_value = 0.746824  # ≈ erf(1)/2 * sqrt(pi)

# 参数
n = 10000
m = 10   # 分层数
samples_per_stratum = n // m

# --- 普通Monte Carlo ---
u_mc = np.random.rand(n)
estimate_mc = np.mean(h(u_mc))

# --- 分层抽样 ---
strata_means = []
for i in range(m):
    # 每层对应区间 [i/m, (i+1)/m)
    lower, upper = i / m, (i + 1) / m
    # 在该层内均匀采样
    u_stratum = lower + (upper - lower) * np.random.rand(samples_per_stratum)
    strata_means.append(np.mean(h(u_stratum)))

estimate_ss = np.mean(strata_means)

# --- 输出结果 ---
print(f"True value:          {true_value:.6f}")
print(f"Regular Monte Carlo: {estimate_mc:.6f}")
print(f"Stratified Sampling: {estimate_ss:.6f}")

# --- 方差比较 ---
def run_experiment(trials=300):
    mc_vals, ss_vals = [], []
    for _ in range(trials):
        u = np.random.rand(n)
        mc_vals.append(np.mean(h(u)))
        ss_means = []
        for i in range(m):
            lower, upper = i/m, (i+1)/m
            u_i = lower + (upper-lower)*np.random.rand(samples_per_stratum)
            ss_means.append(np.mean(h(u_i)))
        ss_vals.append(np.mean(ss_means))
    return np.var(mc_vals), np.var(ss_vals)

var_mc, var_ss = run_experiment()
print(f"\nVariance (MC): {var_mc:.2e}")
print(f"Variance (SS): {var_ss:.2e}")
print(f"Variance reduction: {100*(1 - var_ss/var_mc):.1f}%")

# --- 可视化样本分布 ---
plt.figure(figsize=(8, 3))
plt.hist(u_mc, bins=50, color='gray', alpha=0.5, label='MC Samples')
for i in range(m):
    plt.axvline(i/m, color='r', lw=0.8)
plt.title("Stratified Sampling partitions (10 strata)")
plt.legend()
plt.show()

True value:          0.746824
Regular Monte Carlo: 0.747550
Stratified Sampling: 0.746795

Variance (MC): 1.41e-06
Variance (SS): 4.52e-07
Variance reduction: 68.0%

✅ 六、总结要点