Problem
Let be chosen uniformly at random from the triangular region with vertices Find the probability density function of X, and compute
把整套方法从“几何直觉 → 公式 → 分布”完整拆开讲，并把 Dirichlet 是什么、为什么边缘是 Beta 讲清楚。
1) “在三角形上均匀采样”到底是什么意思？
三角形在 3D 空间里，但它本质是一个 2 维平面区域。
“均匀”指的是：对三角形面积的均匀（面积测度）。也就是三角形里任意两块等面积的小区域，被抽到的概率相同。
2) 为什么用重心坐标（barycentric coordinates）？
给定三角形三个顶点 (A,B,C)，三角形内任意点都能写成：
这三个系数 ((a,b,c)) 就叫 重心坐标（也叫凸组合系数）。
直觉：
- ()：保证点在三角形“里面”（不是延长线外）
- (a+b+c=1)：这是“权重加起来为 1”
- (a) 越大，点越靠近顶点 (A)；(a=1) 就在 (A) 上；(a=0) 就在边 (BC) 上
在你的题里：
所以
因此：
所以题目问 (X) 的分布，本质上就是问 (a) 的分布。
3) 为什么“均匀采样”会让 ((a,b,c)) ~ Dirichlet(1,1,1)？
关键点：((a,b,c)) 的集合
本身就是一个 2D 的三角形（simplex），比如用 ((a,b)) 表示，(c=1-a-b)，可行域是：
如果我们在原来的几何三角形 (ABC) 上按面积均匀取点 (P)，那么它对应到系数空间 ((a,b)) 的映射
是一个线性/仿射变换。
仿射变换对面积的作用是：把面积整体乘上一个常数因子（Jacobian 行列式的绝对值），不会随 ((a,b)) 变化。
所以：
- 在 (P) 空间“均匀（常密度）”
- 等价于在 ((a,b)) simplex 空间“均匀（常密度）”
而 “simplex 上的均匀分布” 正是
更一般： 定义在 simplex 上，密度 。当所有 时，密度就是常数 → 这就是“均匀”。
4) Dirichlet 分布是什么？
定义（(K) 维）
随机向量 服从 ，记作
满足：
密度（在 simplex 上）：
其中 () 是归一化常数（多元 Beta 函数）。
直觉
- ( 越大，() 越倾向更大（权重更偏向第 (i) 个分量）
- 全部 () ：完全均匀，没有偏好
一个重要性质：均值
所以 有
5) 为什么 (a) 的边缘分布是 Beta？
这是 Dirichlet 的经典边缘性质：
如果 ，那么任意一个分量
在这里 。所以：
用“积分消元”把它推一遍（你会更踏实）
Dir((1,1,1)) 在 simplex 上密度是常数。用 ((a,b)) 表示（(c=1-a-b)）：
可行域：
联合密度 ()。
边缘密度：
归一化：要让 ，所以
这正是 Beta((1,2)) 的密度：
6) 回到题目：(X=3a) 的分布怎么来？
我们已经有
又 ，变量变换：
所以 (X) 是一个在 ([0,3]) 上线性递减的密度。
7) () 为什么等于 3？
因为
且 给
所以
加起来：