Taylor 公式

核心定义

函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处的 Taylor 展开：

Taylor 公式（一般形式）
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$$

其中 $f^{(n)}(a)$ 是 $f$ 在 $a$ 处的第 $n$ 阶导数。这是一个精确等式（无穷级数在收敛域内），不是近似。

带余项的有限展开

实际应用中常取前 $n$ 项，余项 $R_n(x)$ 由 Lagrange 余项给出：

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x), \quad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

其中 $\xi$ 在 $a$ 与 $x$ 之间（存在但不一定能显式给出）。

Maclaurin 级数

$a=0$ 的特例

Maclaurin 级数是 $a = 0$ 时的 Taylor 展开，也是最常用的形式：

Maclaurin 级数
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$$
记忆口诀：系数 = 第 $n$ 阶导数在 0 处的值 ÷ $n!$

常见展开表

必背
e^x
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$ $$= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$$
收敛域：所有 $x \in \mathbb{R}$  ·  $R=\infty$
e^{-x}
$$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$$ $$= 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} - \cdots$$
收敛域：所有 $x \in \mathbb{R}$
ln(1+x)
$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$$ $$= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$
收敛域：$-1 < x \leq 1$  ·  $R=1$
-ln(1-x)
$$-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$$ $$= x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots$$
收敛域：$|x| < 1$  ·  $R=1$
几何级数 $\frac{1}{1-x}$
$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$$ $$= 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots$$
收敛域：$|x| < 1$  ·  $R=1$
$\frac{1}{1+x}$
$$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$$ $$= 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \cdots$$
收敛域：$|x| < 1$  ·  $R=1$
sin x
$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ $$= x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \cdots$$
收敛域：所有 $x \in \mathbb{R}$  ·  $R=\infty$
cos x
$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$ $$= 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots$$
收敛域：所有 $x \in \mathbb{R}$  ·  $R=\infty$
二项式 $(1+x)^\alpha$
$$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n$$ $$= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3 + \cdots$$
收敛域：$|x| < 1$（$\alpha \notin \mathbb{N}$）
arctan x
$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$$ $$= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$
收敛域：$|x| \leq 1$  ·  $R=1$
sinh x
$$\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ $$= x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \frac{x^7}{5040} + \cdots$$
收敛域：所有 $x \in \mathbb{R}$（$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$）
cosh x
$$\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ $$= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} + \cdots$$
收敛域：所有 $x \in \mathbb{R}$（$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$）
一阶近似（面试最常用）

当 $x \to 0$ 时，保留到一阶项：

$$e^x \approx 1+x \quad \ln(1+x) \approx x \quad (1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x \quad \sin x \approx x \quad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$$
二阶近似（常用于方差/凸性分析）
$$e^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2} \qquad \ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} \qquad (1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$$

幂级数求和技巧

微分·积分·移位变换

从几何级数出发，通过求导、积分、乘以 $x$ 等操作，可以系统生成一族重要的幂级数。这些级数在 Quant 面试中（期望计算、MGF、Poisson 均值/方差推导）高频出现。

母级数（起点）
$$S(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$$
① 对 $x$ 求导 → $\sum n x^{n-1}$
两边对 x 求导
$$S'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \cdots, \quad |x| < 1$$

应用：Geometric 分布均值推导中，$\sum_{k=1}^\infty k q^{k-1} = \frac{1}{(1-q)^2} = \frac{1}{p^2}$。

② 乘以 $x$ → $\sum n x^n$
上式 × x
$$\frac{x}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n\,x^n = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + 5x^5 + \cdots, \quad |x| < 1$$

应用：Geometric 分布 $E[X] = \sum_{k=1}^\infty k (1-p)^{k-1} p$；NB 分布均值；任何"加权几何"期望。

③ 再求导 → $\sum n(n-1) x^{n-2}$（二阶矩用）
对 S'(x) 再求导
$$S''(x) = \frac{2}{(1-x)^3} = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,x^{n-2} = 2 + 6x + 12x^2 + 20x^3 + \cdots$$

应用：$E[X(X-1)] = \sum k(k-1) p^k$ 型求和，配合 $\text{Var}(X) = E[X^2]-E[X]^2$ 求 Geometric/NB 方差。

④ 乘以 $x^2$ → $\sum n(n-1) x^n$
S''(x) × x²
$$\frac{2x^2}{(1-x)^3} = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,x^n = 2x^2 + 6x^3 + 12x^4 + 20x^5 + \cdots$$
⑤ $\sum n^2 x^n$（方差推导）
利用 n² = n(n-1) + n
$$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \sum_{n=2}^\infty n(n-1)x^n + \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{2x^2}{(1-x)^3} + \frac{x}{(1-x)^2} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$$ $$= x + 4x^2 + 9x^3 + 16x^4 + 25x^5 + \cdots$$

应用：Geometric 分布 $E[X^2]$，进而求 $\text{Var}(X)$。

⑥ 对 $\sum x^n / n$ 和 $\ln$ 族求导/积分
从 -ln(1-x) 出发
$$-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots$$
$$\text{对 }x\text{ 求导：} \quad \frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} \quad \checkmark \text{（回到母级数）}$$
$$\text{乘以 }x\text{ 再求导：} \quad \frac{d}{dx}\left[x\cdot(-\ln(1-x))\right] = \frac{d}{dx}\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n+1}}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)x^n}{n}$$
⑦ $e^x$ 族：$\sum n x^{n-1}/n!$ 和 $\sum n^2 x^n / n!$
从 e^x 出发（Poisson 系列）
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \quad \xrightarrow{\times x} \quad x e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n-1)!}$$
$$\textbf{Poisson 均值：} \quad \sum_{n=0}^{\infty} n \cdot \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} = e^{-\lambda} \cdot \lambda e^{\lambda} = \lambda$$
$$\textbf{下降矩：} \quad \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)\frac{\lambda^n}{n!} = \lambda^2 e^{\lambda} \;\Rightarrow\; E[X(X-1)] = \lambda^2 \;\Rightarrow\; \text{Var}(X)=\lambda$$
完整速查表
级数闭合形式前几项来源
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ $\dfrac{1}{1-x}$ $1+x+x^2+x^3+\cdots$ 几何级数（母）
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ $\dfrac{1}{(1-x)^2}$ $1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$ 对母级数求导
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ $\dfrac{x}{(1-x)^2}$ $x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots$ 上式 $\times x$
$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n-2}$ $\dfrac{2}{(1-x)^3}$ $2+6x+12x^2+20x^3+\cdots$ 二阶导
$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^n$ $\dfrac{2x^2}{(1-x)^3}$ $2x^2+6x^3+12x^4+\cdots$ 二阶导 $\times x^2$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n$ $\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}$ $x+4x^2+9x^3+16x^4+\cdots$ $n^2=n(n-1)+n$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ $-\ln(1-x)$ $x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3}+\cdots$ 母级数积分
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ $e^x$ $1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+\cdots$ 指数函数展开
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n\,x^n}{n!}$ $x e^x$ $0+x+x^2+\tfrac{x^3}{2}+\cdots$ $e^x \times x$（Poisson 均值）
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2\,x^n}{n!}$ $x(1+x)e^x$ $0+x+2x^2+\tfrac{3x^3}{2}+\cdots$ $n^2=n(n-1)+n$（Poisson 方差）
面试口诀：求导降次升系数，乘 $x$ 升次保系数，积分升次除系数。遇到 $\sum k \cdot(\text{东西})^k$ 型求和，第一反应是把它写成 $x \cdot S'(x)$ 的形式。

推导：$-\ln(1-x)$

面试高频

这个展开在 Quant 面试中经常用到（骰子期望、对数收益率等），推导如下：

1

从等比级数出发（精确等式）：

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots, \quad |x| < 1$$
2

两边从 0 到 $x$ 积分（幂级数在收敛域内可逐项积分）：

$$\int_0^x \frac{1}{1-t}\,dt = \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} t^n\,dt$$
3

左边求值：

$$\Big[-\ln(1-t)\Big]_0^x = -\ln(1-x)$$
4

右边逐项积分：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$$
5

结论（精确等式，非近似）：

$$-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \quad |x| < 1$$

收敛性

理论
级数收敛半径端点行为
$e^x$$R = \infty$全实数收敛
$\sin x, \cos x$$R = \infty$全实数收敛
$\frac{1}{1-x}$$R = 1$端点均发散
$-\ln(1-x)$$R = 1$$x=-1$ 收敛，$x=1$ 发散（调和级数）
$\ln(1+x)$$R = 1$$x=1$ 收敛（交错调和），$x=-1$ 发散
$(1+x)^\alpha$$R = 1$取决于 $\alpha$
收敛半径公式： $R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$（比值法），或 $R = 1/\limsup |a_n|^{1/n}$（根值法）

金融中的应用

Quant 核心
1. 连续复利与离散复利

$(1 + r/n)^n \to e^r$ 当 $n\to\infty$。用 $e^x$ 展开验证：

$$e^r = 1 + r + \frac{r^2}{2} + \cdots \approx 1 + r \quad \text{（小 }r\text{ 时）}$$
2. 对数收益率

$\ln(1+r) \approx r$ 对小 $r$ 成立，这是对数收益率可加性的理论基础：

$$\ln(1+r) = r - \frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{3} - \cdots$$
3. Black-Scholes Greeks（Delta-Gamma 近似）

期权价格 $V(S)$ 关于 $S$ 的 Taylor 展开，取到二阶：

$$\Delta V \approx \Delta \cdot \Delta S + \frac{1}{2}\Gamma \cdot (\Delta S)^2$$

其中 $\Delta = \partial V/\partial S$，$\Gamma = \partial^2 V/\partial S^2$。Delta-hedged P&L 的 $\frac{1}{2}\Gamma S^2(\sigma_{RV}^2 - \sigma_{IV}^2)dt$ 正是这个二阶项的来源。

4. 债券久期与凸性
$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D \cdot \Delta y + \frac{1}{2}C \cdot (\Delta y)^2$$

久期 $D$ 是一阶项，凸性 $C$ 是二阶项，本质上是债券价格对收益率的 Taylor 展开。

5. Kelly Criterion 推导

最大化 $E[\ln W]$，对 $\ln(1 + \text{payoff})$ 展开到二阶得到 Kelly 分数：

$$f^* = \frac{\mu}{\sigma^2} \quad \text{（连续版本）}$$

概率题中的应用

面试高频
骰子期望问题

抛骰子，第 $n$ 次抛到6结束，payoff = $1/n$。无限次游戏的期望：

$$E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(5/6)^n}{n} = \frac{\ln 6}{5}$$

关键：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$，令 $x = 5/6$ 得 $\ln 6$。

MGF 与矩

矩母函数 $M(t) = E[e^{tX}]$ 的展开：

$$M(t) = E[e^{tX}] = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E[X^n]}{n!} t^n$$

系数 $E[X^n]/n!$ 正是第 $n$ 阶矩。对 $M(t)$ 在 $t=0$ 处求 $n$ 阶导即得 $E[X^n]$。

Poisson 近似

$(1 - \lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$，用 $e^x$ 展开在 Poisson 极限定理中出现：

$$\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n = e^{n\ln(1-\lambda/n)} \approx e^{n \cdot (-\lambda/n)} = e^{-\lambda}$$

面试题库

点击展开答案
推导 $e^x$ 的 Maclaurin 展开 基础必会 ▼

$f(x) = e^x$，所有阶导数均为 $e^x$，在 $x=0$ 处 $f^{(n)}(0) = 1$。代入 Maclaurin 公式：

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

收敛半径 $R = \infty$（比值法：$|a_{n+1}/a_n| = |x|/(n+1) \to 0$）。

$\sum x^n/n = -\ln(1-x)$ 是近似还是精确等式？ 面试陷阱 ▼

精确等式。$|x|<1$ 时无穷级数收敛到 $-\ln(1-x)$，不是近似。

推导：对几何级数 $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ 两边积分，幂级数在收敛域内可逐项积分，结果精确成立。"高阶项"是已经全部求和完的，不存在截断误差。

Delta-Gamma 近似的 Taylor 展开背景 Vol Trading ▼

期权价值 $V(S+\Delta S)$ 在 $S$ 处展开到二阶：

$$V(S+\Delta S) \approx V(S) + \frac{\partial V}{\partial S}\Delta S + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(\Delta S)^2 = V(S) + \Delta\cdot\Delta S + \frac{1}{2}\Gamma(\Delta S)^2$$

Delta-hedge 后消去一阶项，P&L 由二阶项主导：$\frac{1}{2}\Gamma S^2(\sigma_{RV}^2 - \sigma_{IV}^2)dt$，这是 vol trading 盈亏的核心公式。

用 Taylor 展开证明 AM ≥ GM 概率/统计 ▼

$e^x \geq 1 + x$ 对所有 $x$ 成立（$e^x$ 的 Taylor 展开各项非负，高阶项被丢弃后只能更小）。

令 $x = a_i/\bar{a} - 1$，则 $e^{a_i/\bar{a}-1} \geq a_i/\bar{a}$，连乘后取对数即得 AM ≥ GM。

这也说明为何 Kelly 准则最大化 $E[\ln W]$ 而非 $E[W]$：$\ln W \leq W - 1$，期望增长率与典型路径增长率之差正是被高阶项捕捉的信息。

用 MGF 求正态分布的各阶矩 统计 ▼

$X \sim N(0,1)$ 的 MGF：$M(t) = e^{t^2/2}$。展开：

$$M(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(t^2/2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n}}{2^n \cdot n!}$$

与 $M(t) = \sum E[X^n]t^n/n!$ 对比：奇数阶矩为0，$E[X^{2n}] = (2n)!/(2^n \cdot n!) = (2n-1)!!$。即 $E[X^2]=1, E[X^4]=3, E[X^6]=15$。

$(1+r/n)^n \to e^r$ 的严格推导 基础金融数学 ▼

取对数：$n \cdot \ln(1 + r/n)$。用 $\ln(1+x) \approx x - x^2/2 + \cdots$，令 $x = r/n$：

$$n \cdot \ln\left(1 + \frac{r}{n}\right) = n\left(\frac{r}{n} - \frac{r^2}{2n^2} + O(n^{-3})\right) = r - \frac{r^2}{2n} + O(n^{-2}) \to r$$

因此 $(1+r/n)^n = e^{n\ln(1+r/n)} \to e^r$。这是连续复利的严格数学基础。

交互演示

Taylor 近似可视化

调整展开阶数，观察 Taylor 近似如何收敛到真实函数：

3
x = 0
—
—
—