Options Basics
期权是一种赋予持有者权利而非义务在特定日期或之前以特定价格买卖标的资产的金融衍生品。
Call Option · 看涨期权
赋予持有者以 Strike Price K 买入标的资产的权利
- Delta: 0 到 1 之间
- ITM: S > K
- ATM: S ≈ K
- OTM: S < K
Put Option · 看跌期权
赋予持有者以 Strike Price K 卖出标的资产的权利
- Delta: -1 到 0 之间
- ITM: S < K
- ATM: S ≈ K
- OTM: S > K
Option Value Components
Intrinsic Value (Call) = max(S − K, 0)
Time Value = f(σ, T−t, r, q) — decays as expiry approaches
Moneyness 度量
| Moneyness | Call Condition | Put Condition | Intrinsic Value | 特点 |
|---|---|---|---|---|
| Deep ITM | S ≫ K | S ≪ K | 高 | Δ≈±1, 行为接近线性 |
| In-the-Money | S > K | S < K | 正 | 高内在价值 |
| At-the-Money | S = K | S = K | 0 | 最大 Gamma/Vega, Δ≈±0.5 |
| Out-of-the-Money | S < K | S > K | 0 | 纯时间价值 |
| Deep OTM | S ≪ K | S ≫ K | 0 | Δ≈0, lottery-like |
American vs European
只能在到期日行权。标准 BSM 适用。适用于指数期权 (SPX, VIX)。
可以在任意时间行权。存在 early exercise premium。股票期权 (AAPL, SPY) 通常为美式。
Black-Scholes-Merton Model
BSM 模型（1973）是期权定价的基石，假设标的资产价格遵循几何布朗运动 (GBM)。
核心假设 (Assumptions)
① 连续交易，无摩擦市场（无交易成本、税收） ② 标的资产遵循对数正态 GBM，波动率 σ 为常数 ③ 无风险利率 r 为常数 ④ 标的资产不支付股息（或已调整） ⑤ 无套利，无做空限制 ⑥ 欧式期权（到期日行权）
GBM 随机微分方程
// dW_t = √dt · ε，ε ~ N(0,1) 标准布朗运动增量
// μ: 漂移率 (drift), σ: 波动率, W_t: 维纳过程
ln(ST/S0) ~ N( (μ − σ²/2)T , σ²T )
BS PDE (Partial Differential Equation)
// Θ + ½σ²S²Γ + rSΔ − rV = 0
// 即: 时间价值衰减 + Gamma收益 + Delta收益 = 无风险收益
BSM 定价公式
P = K · e−rT · N(−d₂) − S · N(−d₁)
d₁ = [ ln(S/K) + (r + σ²/2)T ] / (σ√T)
d₂ = d₁ − σ√T
S 当前标的资产价格 |
K 行权价 (Strike) |
T 到期时间（年） |
r 无风险利率 |
σ 年化波动率 |
N(·) 标准正态 CDF |
d₁ 风险调整后 moneyness |
d₂ 风险中性概率对应值
有股息调整 (Merton, 1973)
d₂ = d₁ − σ√T
// q: 连续股息率 (dividend yield)
// 对于期货期权，用 r=0, q=0，前向价格 F = Se^(r-q)T 代替 S
F = S·e^(r−q)T → 用 F 替换 S 且 r=0 即得 Black-76 模型（常用于利率/商品期权）
隐含波动率 (Implied Volatility)
市场上没有直接观测到的 σ，而是通过观测到的市场期权价格，反向求解 BSM 方程得到的 σ，即为 IV。
// 无解析解，需要数值方法：Newton-Raphson 迭代最常用
// Newton: σ_{n+1} = σ_n − (BSM(σ_n) − C_mkt) / Vega(σ_n)
Realized Vol (RV / HV): 历史价格序列计算得到的已实现波动率，σ_RV = std(log returns) × √252
Implied Vol (IV): 市场价格隐含的对未来波动率的预期（含风险溢价）
Variance Risk Premium (VRP): VRP = IV² − E[RV²] 通常为正，是 short-vol 策略的根基
The Greeks — 一阶敏感度
Greeks 衡量期权价格相对于各市场参数的偏导数（敏感度），是动态对冲和风险管理的核心工具。
期权价格对标的资产价格变动的敏感度。也近似等于期权到期 ITM 的风险中性概率。
Put: Δ = −e−qT N(−d₁)
Delta Hedging: 持有 Δ 份标的可对冲一阶风险。Delta-neutral portfolio: 组合 Δ = 0。
Delta 相对于标的价格的变化率，衡量 Delta 的非线性程度。ATM 时最大，到期临近时急剧增大。
Call = Put（同一合约）
Gamma PnL: ½Γ(ΔS)² — Long gamma 从大幅波动中获益，Short gamma 受损。Gamma vs Theta 是核心 trade-off。
期权价格对隐含波动率的敏感度。Vega 不是标准希腊字母，通常用 ν 或 κ 表示。所有 long options 均有正 Vega。
Call = Put（同一合约）
ATM 期权 Vega 最大，随时间增加（∝√T）。Vol trading 的核心 greek —— 做多波动率 = 做多 Vega。通常以 每1% vol change 的美元盈亏表示。
期权价格随时间流逝的衰减速率。通常为负（time decay）。ATM 临近到期时 Theta 最大。
− rKe−rTN(d₂) + qSe−qTN(d₁)
Θ-Γ Trade-off: BS PDE 给出 Θ + ½σ²S²Γ = rV (approx 0)。Long gamma 必然支付 Theta，Short gamma 收取 Theta。
期权价格对无风险利率的敏感度。对股票期权影响较小，但对利率衍生品至关重要。
Put: ρ = −KTe−rTN(−d₂)
Greeks 快速参考汇总
| Greek | 定义 | Call 符号 | Put 符号 | 最大值位置 | 主要用途 |
|---|---|---|---|---|---|
| Δ Delta | ∂V/∂S | 0 ~ +1 | −1 ~ 0 | ATM ≈ ±0.5 | 方向性对冲，仓位规模 |
| Γ Gamma | ∂²V/∂S² | + | + | ATM，近到期最大 | 对冲频率，凸性风险 |
| ν Vega | ∂V/∂σ | + | + | ATM，长期限最大 | Vol exposure，vol trading |
| Θ Theta | ∂V/∂t | − | − | ATM，近到期最大 | 时间价值衰减管理 |
| ρ Rho | ∂V/∂r | + | − | 深 ITM，长期限 | 利率敏感度 |
Interactive Greeks Charts — 实时 BSM 计算
拖动滑块实时观察每个 Greek 随 Spot 变化的曲线。实线 = Call，虚线 = Put。鼠标悬停查看精确数值。
Higher-Order Greeks — 二阶及交叉偏导
一阶 Greeks 无法捕捉的非线性风险需要用高阶 Greeks 来衡量，对于系统化波动率交易尤为重要。
Delta 随隐含波动率的变化，或 Vega 随标的价格的变化。
当市场大跌时 Vanna 流量：做市商 short put → 需要 delta hedge → buy vol → 形成 vol-spot correlation（"vol up when spot down"）
Vega 相对波动率的凸性，衡量 vol-of-vol 的敞口。OTM 期权 Volga 最大。
Long OTM strangle 有正 Volga——从 vol-of-vol 中获益。Exotic pricing 中 Volga 尤为关键（SABR, Bergomi）。
Delta 随时间的变化率，即 Delta 的时间衰减。管理 delta hedge 频率时需考虑。
Gamma 随标的价格的变化。衡量 Gamma 本身的非线性。在 pin risk 和 barrier 定价中重要。
Gamma 随时间的变化率。临近到期时 Color 急剧变化，影响日内对冲策略。
Time-Gamma CrossGamma 随波动率的变化。Vol jump 时 Zomma 影响 Gamma PnL。
Greeks 泰勒展开 (PnL Decomposition)
// Delta PnL + Gamma PnL + Time Decay + Vega PnL + Vol Convexity + Cross Terms + Rate PnL
// Daily Gamma PnL: ½Γ(ΔS)² ≈ ½Γ·S²·σ²_realized·dt
Gamma PnL vs Theta — 核心 Trade-off
// 如果 σ_realized > σ_implied (RV > IV): Long gamma 盈利
// 如果 σ_realized < σ_implied (RV < IV): Short gamma 盈利（收 Theta）
Expected Daily PnL ≈ ½ · Γ · S² · (σ_RV² − σ_IV²) · dt
Put-Call Parity (PCP)
PCP 是期权市场中最基本的无套利关系，将同一标的、同一行权价、同一到期日的看涨和看跌期权价格联系起来。
推导：Replication Portfolio
Portfolio B: Long Put + Long S·e−qT (stock, forward)
// 到期时两组合 Payoff 相同: max(S_T − K, 0) + K = max(K − S_T, 0) + S_T
// No Arbitrage: A 和 B 当前价值必须相等
// 因此: C + K·e^−rT = P + S·e^−qT
PCP 变形与应用
| Relationship | Formula | 应用场景 |
|---|---|---|
| Standard PCP | C − P = S·e−qT − K·e−rT |
套利检测，合成组合 |
| Synthetic Forward | C − P = F·e−rT − K·e−rT |
Long Call + Short Put = Long Forward |
| Synthetic Stock | S = C − P + K·e−rT |
Stock = Call − Put + Bond |
| Synthetic Call | C = P + S·e−qT − K·e−rT |
用 Put + Stock 合成 Call |
| Synthetic Put | P = C − S·e−qT + K·e−rT |
用 Call + Short Stock 合成 Put |
| IV PCP | IV_Call(K) ≈ IV_Put(K) |
同 Strike call/put IV 应相同（欧式） |
PCP 套利策略 (Conversions & Reversals)
当 C − P > Forward:
Long Put + Long Stock + Short Call
≡ 锁定无风险收益。价格回归时平仓。
当 C − P < Forward:
Long Call + Short Stock + Short Put
≡ 反向套利。
PCP 意味着同一行权价的 call 和 put 的隐含波动率必须相等（对欧式期权）。若 IV_call ≠ IV_put，存在套利机会（或者是反映 carry, borrow cost, 美式提前行权溢价等）。这是 vol surface 在每个 strike 上 call/put 一致性的基础。
Volatility Surface
Vol Surface 是 IV(K, T) 的二维曲面——同一标的不同行权价和不同到期日的隐含波动率矩阵。BSM 假设 σ 为常数，现实中 IV 随 K 和 T 变化，形成三种主要结构。
FIGURE: Illustrative Equity Volatility Surface — IV(Strike, Tenor)
Vol Surface 三大维度
1. Volatility Smile / Skew
沿 Strike 维度，IV 随 moneyness 变化的形状：
Equity Skew (Negative Skew)
股票期权中 OTM Put 的 IV > OTM Call 的 IV，形成左偏斜（Negative Skew）。
- 反映崩盘保护需求（Crashophobia）
- 25Δ Put IV > 25Δ Call IV（Risk Reversal < 0）
- Skew = IV(K_low) − IV(K_high)
- 25RR = IV(25Δ Call) − IV(25Δ Put)
FX / Commodity Smile
外汇/商品期权两侧 OTM 期权 IV 均高于 ATM，形成对称微笑。
- 反映肥尾分布（fat tails）
- Butterfly = IV(Wing) − IV(ATM)
- 25BF = ½[IV(25Δ C) + IV(25Δ P)] − IV(ATM)
- RR ≈ 0（对称），BF > 0
2. Term Structure (时间结构)
Inverted (Backwardation): 短期 IV > 长期 IV — 危机状态，短期恐慌更高
Flat: 各期限 IV 大致相同
// VIX = 30天 IV。VIX3M/VIX比值衡量 term structure 斜率
// 正向: 卖近月买远月（Vol Calendar Spread）有利
3. Vol Surface Parameterization
| 参数/指标 | 定义 | 市场含义 | 计算方式 |
|---|---|---|---|
| ATM Vol | S≈K 时的 IV | 市场对未来整体波动的预期基准 | IV(S, T) |
| 25Δ Risk Reversal | 25Δ Call IV − 25Δ Put IV | Skew 方向和大小；负值 = 下行保护需求高 | 25RR = σ_C25 − σ_P25 |
| 25Δ Butterfly | ½(σ_C25 + σ_P25) − σ_ATM | 肥尾程度；Kurtosis 代理变量 | 25BF = ½(σ_C25+σ_P25) − σ_ATM |
| IVTS (Term Structure) | 长期 IV / 短期 IV | Vol term premium；危机指标 | VIX3M / VIX |
| Vol of Vol | IV 自身的波动率 | 模型参数；VVIX 是 VIX 的 vol | std(ΔIV)/ΔT |
Sticky Strike vs Sticky Delta
当标的价格移动时，同一 Strike 的 IV 保持不变。IV 是 K 的函数，而非 moneyness。股票期权市场更常见。
当标的价格移动时，同一 Delta（moneyness）对应的 IV 保持不变。FX 期权市场更常见。导致额外 Delta 调整。
Vol Surface 套利约束 (No-Arbitrage Conditions)
Butterfly: ∂²C/∂K² ≥ 0（Call 价格关于 K 的二阶导非负）
Slope: 0 ≤ −∂C/∂K ≤ e^(−qT)（Call 关于 K 单调递减）
Density: Risk-neutral density = e^(rT) ∂²C/∂K² ≥ 0（风险中性密度非负）
Volatility Models
Local Volatility (局部波动率)
σ²_local(K,T) = [∂C/∂T + (r−q)K∂C/∂K + qC] / [½K²∂²C/∂K²]
// Dupire公式: 从市场期权价格直接提取 local vol surface
// 完美拟合当前 vol surface，但动态性差（smile dynamics 不真实）
Stochastic Volatility Models
| Model | 波动率过程 | 特点 | 参数 |
|---|---|---|---|
| Heston (1993) | dv = κ(θ−v)dt + ξ√v dW_v |
均值回复 CIR 过程，有解析公式，最广泛使用 | κ, θ, ξ, ρ, v₀ |
| SABR | dσ = ασ dW_σ |
对利率衍生品极为流行，近似解析公式 | α, β, ρ, ν |
| Rough Heston | dv = fractional BM (H<0.5) |
Rough vol (Hurst H≈0.1)，更好地捕捉短期 skew | H, λ, ν, ρ, V₀ |
| Bergomi (2005) | Forward var curve model |
多因子，正确描述 vol of vol 结构 | ω, ρ, k₁, k₂... |
| SVI (Gatheral) | w(k) = a+b[ρ(k−m)+√((k−m)²+σ²)] |
参数化 vol surface，无套利保证 | a, b, ρ, m, σ |
Heston Model 详解
dv = κ(θ − v) dt + ξ√v · dW_v
// corr(dW_S, dW_v) = ρ dt — 通常 ρ < 0 (equity: vol rises when price falls)
// κ: mean reversion speed θ: long-run variance ξ: vol of vol
// Feller condition: 2κθ > ξ² (保证方差不为负)
Heston Price = ½(S·e^{−qT} − K·e^{−rT}) + (1/π)∫Re[e^{−iKu}f(u)]/iu du
// 特征函数求解，半解析
VIX — 市场恐慌指数
// Model-free: 不依赖 BSM，直接从期权价格积分得到
// Q(K_i): mid-price of OTM option at strike K_i
// 等价于 variance swap 的 fair value: E[∫₀ᵀ σ²_t dt]
// Replication: Long portfolio of OTM options weighted by 1/K²
Variance Swap
K_var = (2/T) · [rT − (F/S₀ − 1) + ln(S₀/F) + ∫₀ᶠ P(K)/K² dK + ∫ᶠ∞ C(K)/K² dK]
// Variance swap 是最纯粹的 volatility instrument
// Vega 为常数（dollar vega 不随 vol 变化），Gamma ∝ 1/S²
// Long var swap = Long realized var, Short implied var
Options Strategies
买入等 Strike 的 Call + Put，到期时盈利来自大幅方向性移动。ATM Straddle 是最纯粹的 Vega/Gamma 多头。
Max Loss = Net Premium | Payoff: |S_T − K| − Premium | Break-even: K ± Premium
买入 OTM Call + OTM Put，比 Straddle 便宜但需要更大幅度移动才能盈利。Long Strangle 有正 Volga（收益于 vol-of-vol）。
Long 1 低 K Call + Short 2 中 K Call + Long 1 高 K Call（等间距）。卖出 ATM Straddle + 买入 Wing 保护。Short Gamma + Limited Risk。
最大盈利: 到期时 S = K | 最大亏损: Net Debit
Short OTM Put Spread + Short OTM Call Spread。收取权利金，预期标的在一定区间内。适合高 IV 环境做多 Theta。
Buy long-dated option + Sell short-dated option at same strike。利用 Theta 衰减速度差异（近月衰减更快）。Vol term structure 正向时有优势。
Long OTM Call + Short OTM Put（或反向）。主要用于交易 Skew，也有方向性敞口。25Δ RR 是 FX 市场核心 skew 报价。
负 RR (equity skew): 下行保护溢价 > 上行参与
Long 1x ATM + Short 2x OTM（或其他比例）。可以构建 Vega 中性但有 Skew 敞口的组合。常用于 vol surface 相对价值交易。
Greeks Profile 对比
| Strategy | Delta | Gamma | Vega | Theta | Volga | Vanna |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Long Straddle | ≈ 0 | + | + | − | + | ≈ 0 |
| Short Straddle | ≈ 0 | − | − | + | − | ≈ 0 |
| Long Strangle | ≈ 0 | + | + | − | ++ | ≈ 0 |
| Long Butterfly | ≈ 0 | − | − | + | − | ≈ 0 |
| Calendar Spread | ≈ 0 | − | + | + | small | small |
| Risk Reversal | + | small | small | small | + | + |
Systematic Volatility Trading
Variance Risk Premium (VRP) 策略
历史上 IV > RV（平均 VRP ≈ 2-4 vol points），因此系统性卖出波动率是盈利的。VRP 来源于投资者为对冲下行风险支付的溢价。
策略: 每月卖出 ATM Straddle/Strangle，Delta 中性，持至到期 → 捕获 VRP。Sharp Ratio ≈ 0.5–1.5（有尾部风险）。
系统化信号构建框架
| 信号类型 | 指标 | 逻辑 | 做多/做空 Vol |
|---|---|---|---|
| IV vs RV | VRP = IV − RV_trailing |
IV 显著高于 RV → Short Vol（收益于均值回复） | Short Vol |
| Vol Momentum | MA(IV, 20) vs MA(IV, 5) |
短期 IV 上升趋势 → Long Vol（趋势跟随） | Long Vol |
| Term Structure | IVTS = VIX3M/VIX |
IVTS < 1（倒挂）→ 危机状态，减少 short vol | Long Vol |
| Skew Signal | 25RR normalized |
Skew 极端偏斜 → Skew mean reversion 机会 | Skew Trade |
| Vol of Vol | VVIX level |
VVIX 高 → Vol 本身不稳定，减仓 short vol | Reduce Short |
| Earnings/Events | IV jump before earnings |
Earnings vol crush → Short IV before event | Short Vol |
| Intraday Microstructure | Option flow imbalance |
大量 call buying → 期权做市商 Vega 短头寸 → IV 上涨 | Long Vol |
Feature Engineering for Vol Signals
Vol Surface Features
- ATM IV level (各期限)
- 25Δ Risk Reversal (skew)
- 25Δ Butterfly (smile curvature)
- Term structure slope (IVTS)
- Vol surface curvature
- IV rank / IV percentile
- IV z-score (normalized)
- Vol cone comparison
Price/Volume Features
- RV (trailing: 5/10/20/60d)
- Parkinson / GARCH vol
- RV-IV spread (VRP proxy)
- Return autocorrelation
- Intraday vol pattern
- Put/Call ratio
- Option open interest
- Vol surface PCA factors
Signal Combination & Portfolio Construction
Final Signal = Σ w_i · signal_i
// Rolling Sharpe: SR_i = mean(ret_i) / std(ret_i) × √252
// Adaptive: w 随时间更新，近期表现差的信号权重降低
// Position size: notional = Signal × Vol_budget / predicted_vol
Vol Forecasting Models
| Model | 方程 | 优点 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| GARCH(1,1) | σ²_t = ω + α·ε²_{t-1} + β·σ²_{t-1} |
经典，可解释，捕捉 vol clustering | 短期 RV 预测 |
| HAR-RV | RV_t = α + β_d·RV_{d} + β_w·RV_w + β_m·RV_m |
多尺度，RV 的长记忆性 | 日/周级别预测 |
| EGARCH | ln(σ²_t) = ... asymmetric leverage |
捕捉 leverage effect（负收益→更高 vol） | 股票 vol 预测 |
| ML/LSTM | σ_pred = LSTM([IV, RV, skew, ...]) |
捕捉非线性关系，多特征输入 | 综合信号预测 |
Dynamic Hedging
Delta Hedging
持有 Δ 份标的资产对冲期权的方向性风险，使组合 Delta = 0（Delta-neutral）。需要持续再平衡（动态对冲）。
// Delta PnL 被对冲抵消，剩余：Gamma PnL + Theta decay + Vega PnL
// 连续对冲时: E[PnL] ∝ (σ²_realized − σ²_implied) × Gamma
Hedging Frequency Trade-off
更精确地锁定 IV vs RV 的差异。Replication error 小。但交易成本高，bid-ask spread 侵蚀。适合做市商和 HFT。
交易成本低，但 Delta residual 风险大。对于 Buy-Side，通常每日或当 |Delta| > threshold 时再平衡（Band hedging）。
Vega Hedging
// 常见方法: 用另一期权对冲 Vega
n_hedge = −ν_original / ν_hedge
// 注意: Vega hedge 后 Delta 改变，需要重新 Delta hedge
// Vol surface hedge: 分别对冲 Level (ATM Vega), Skew (Vanna), Curvature (Volga)
Greeks Neutralization Priority
| 对冲顺序 | Greek | 工具 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 1st | Vega | Other options | 先用期权对冲 Vega（Vega 只能用期权对冲） |
| 2nd | Gamma | Other options | 同步对冲 Gamma（需要新的期权合约） |
| 3rd | Delta | Underlying / Futures | 最后用标的资产对冲 Delta（调整最灵活） |
| Optional | Rho | Interest rate swaps | 利率风险对冲（长期头寸必要） |
P&L Attribution (PnL 拆解)
Δ PnL = Δ × ΔS
Γ PnL = ½ × Γ × (ΔS)²
Θ PnL = Θ × Δt
ν PnL = ν × Δσ_ATM
Vanna = Vanna × ΔS × Δσ
Volga = ½ × Volga × (Δσ)²
Risk Management
Vol Trading 特有风险
临近到期 ATM 期权 Gamma 极大，标的微小移动导致 Delta 剧变。到期日价格"钉"在行权价附近时 (pin risk) 对冲困难。
市场从 low-vol 突然进入 high-vol（危机）。Short vol 策略在 vol spike 中会有极端亏损（negative convexity）。2018 Vol-mageddon 典型案例。
BSM/Heston 等模型假设简化了现实。Jump risk（不连续价格跳跃）和 vol-of-vol 在模型中难以完全捕捉，导致对冲误差。
期权 bid-ask spread 宽，深 OTM 期权流动性差。压力市场下对冲成本大增。IV 的 bid-ask 代表了交易成本的核心。
Vol Risk Metrics
| 指标 | 定义 | 用途 |
|---|---|---|
| Dollar Vega | ν × position × multiplier |
1% vol 变化对应的 P&L 美元值，标准化头寸 |
| Dollar Gamma | Γ × S² × multiplier |
1% spot 移动对应的 Delta 变化（美元） |
| Theta (Daily) | Θ / 365 × multiplier |
每日时间价值衰减，Short vol 的收入 |
| VaR (Vol-specific) | ν × ΔIV_95% scenario |
Vol jump 对应的 95% 分位数损失 |
| Stress Test | ΔP&L | ΔS=±10%, Δσ=±5% |
极端情景下的组合损失估计 |
| Sharpe Ratio | E[R] / std(R) × √252 |
风险调整后收益，信号质量评估核心指标 |
Short Vol 策略的 Tail Risk
Skewness < 0 // 负偏：偶发极端亏损（vol spike）
Kurtosis >> 3 // 肥尾：尾部损失大于正态分布预期
// "Picking up nickels in front of a steamroller"
// 风险缓解: 买入 OTM 保护（转化为 Condor/Butterfly）
// 动态止损: 若 IV 突破阈值则减仓 short vol
// 多样化: 跨资产 vol trading（股票/FX/商品/利率）
关键市场指标监控
Volatility Regime Indicators
- VIX level (<15: low, 15-25: mid, >25: high)
- VVIX (vol of VIX)
- VIX3M/VIX (term structure)
- SKEW Index (tail risk)
- VIX futures curve shape
- Realized vs Implied spread
Risk Limits Framework
- Max Dollar Vega per name
- Max Dollar Gamma per expiry
- Max Theta bleed per day
- Net Vega (long vs short)
- Concentration limit per sector
- VaR at 99% 1-day horizon
Derivatives Zoo — 期权衍生品全景
除了标准股票/指数期权，金融市场有丰富的期权衍生品生态，分布在利率、信用、外汇、商品等各个市场。每类衍生品都有其特定的定价模型、Greeks 结构和交易逻辑。
利率衍生品 · Interest Rate Derivatives
Swaption 赋予持有者在特定日期以特定固定利率（strike rate = swap rate K）进入利率互换（IRS）的权利。是利率市场中最重要的波动率工具，也是 Vol Surface 的核心。
持有者获得：付固定 K，收浮动 SOFR/LIBOR
Payoff = max(S_swap − K, 0) × Annuity
类比 Call：当利率上升（swap rate > K）时盈利
Receiver Swaption（收固定）
持有者获得：收固定 K，付浮动
Payoff = max(K − S_swap, 0) × Annuity
类比 Put：当利率下降时盈利
Payer = A(t) · [F·N(d₁) − K·N(d₂)]
Receiver = A(t) · [K·N(−d₂) − F·N(−d₁)]
d₁ = [ln(F/K) + ½σ²T] / (σ√T)
d₂ = d₁ − σ√T
A(t): Annuity factor（互换现金流现值之和）
F: Forward swap rate（远期互换利率）
σ: Swaption implied vol（Normal or Log-normal）
Normal (Bachelier): dF = σ_N · dW — σ_N 为 basis point vol (bpvol)
SABR: 最常用，同时捕捉 smile 和 skew
// Conversion: σ_N ≈ σ_LN × F（ATM 近似）
// Swaption Vol Matrix: Expiry (1M→30Y) × Tenor (1Y→30Y) 的二维矩阵
Cap 是一系列 Caplet 的组合，每个 Caplet 是对单期浮动利率的 Call Option。Caps 用于对冲浮动利率贷款的利率上行风险。Floor 则是 Floorlet（Put）的组合。
Caplet_i = τ_i · P(0,t_i) · [F_i·N(d₁) − K·N(d₂)]
τ_i: 第 i 期天数分数（day count fraction）
P(0,t_i): 折现因子
F_i: 远期利率（forward rate）
Cap = Σ Caplet_i（所有期汇总）
Floor = Σ Floorlet_i
Cap − Floor = IRS
（Cap − Floor = Payer Swap）
ATM Cap/Floor Vol:
ATM strike = par swap rate
Vol Term Structure：短端 vol 通常高于长端
Cap Vol vs Swaption Vol:
Cap 用 strip vol（各期限不同σ）
Swaption 用 flat vol
对债券价格的期权。国债期货期权（TY options）是美国市场重要的利率 vol 工具。定价用 Black-76（以债券价格为标的）。
Payoff = max(B_T − K, 0)
B_T: 到期时债券价格
定价用 Black-76 以 Forward Bond Price 为 F
或 Hull-White / Vasicek 短利率模型
利率期权的 Delta ≈ −Duration × ΔBond
Gamma ≈ Convexity 效应
Interest Rate Gamma:
DV01: 利率变动1bp的价格变化（类比 Delta）
Gamma: DV01 的变化率
信用衍生品 · Credit Derivatives
对 CDS spread 的期权。Payer CDS Option：支付溢价购买在特定日期以 strike spread K 进入 CDS 保护（买保护 = 做空信用）的权利。常用于对冲信用 tail risk 或交易信用 vol。
max(s_T − K, 0) × Risky Annuity
s_T: 到期时 CDS spread
类似 Swaption，用 Black-76 定价
Credit Vol = CDS Spread Vol（通常 log-normal）
Knock-out feature:
标准 CDS Option 在违约发生时行权
CS01: spread 变动1bp的价格敏感度（类比 DV01）
Gamma: CS01 的变化率
Jump-to-default risk: 违约跳跃风险（无法对冲）
CDIS: CDS Index Swaption
CDX/iTraxx 指数期权，更流动，类比 SPX 指数期权
外汇期权 · FX Options
FX 期权市场有独特的报价惯例。Vol 以 Delta 而非 Strike 表示，Vol Surface 用 ATM vol + Risk Reversal + Butterfly 三组数据重建。
C = S·e^(−r_f T)·N(d₁) − K·e^(−r_d T)·N(d₂)
d₁ = [ln(S/K) + (r_d − r_f + σ²/2)T] / (σ√T)
r_d: domestic risk-free rate
r_f: foreign risk-free rate (q = r_f)
Forward Rate:
F = S · e^((r_d − r_f)T)
ATM vol（DNS: delta neutral straddle）
25Δ Risk Reversal = σ(25C) − σ(25P)
25Δ Butterfly = ½(σ(25C)+σ(25P)) − σATM
FX Smile 特点:
通常对称（双尾风险）
EM currencies: 非对称 skew（贬值风险）
Vanna-Volga 方法常用于 FX exotics 定价
// x₁,x₂,x₃: 由 Vanna, Volga 匹配条件确定的权重
// 把 vanilla smile 的信息"传递"给 exotic 定价
异型期权 · Exotic Options
当标的价格触及某个 Barrier 水平时期权生效（Knock-In）或失效（Knock-Out）。比 vanilla 更便宜，但有 Gamma 突变风险（pin risk at barrier）。
Down-and-Out Call: S 跌破 H 则失效
Down-and-In Call: S 跌破 H 才生效
Up-and-Out Call: S 涨破 H 则失效
Up-and-In Call: S 涨破 H 才生效
Knock-In + Knock-Out = Vanilla
BSM 解析公式存在（连续监测时）
离散监测需 Monte Carlo / PDE
Barrier 附近 Delta 和 Gamma 极不稳定
Gamma 在 barrier 处趋于 ±∞（near-barrier）
Delta 可能超过1或变负（超线性）
Vanna 关键:
Barrier option 的 vol skew 敏感度极强
Delta 随 vol 剧烈变化（Vanna 大）
必须用 Local Vol 或 SV 模型定价
到期 payoff 为固定金额（Cash-or-Nothing）或标的资产（Asset-or-Nothing）的全有或全无期权。是 Barrier Option 的极限情况，也是 Vol Surface 的重要 hedge 工具。
Payoff = Q · 1{S_T > K}
价格 = Q · e^(−rT) · N(d₂)
关键关系:
Digital Call = −∂C/∂K · e^(rT)
= Breeden-Litzenberger 密度的积分
数字期权价格 ∝ 风险中性概率
BSM Digital: Q · e^(−rT) · N(d₂)
Smile-adjusted: 需要加入 Vanna 修正
ΔDigital = −∂C/∂K = e^(−rT)·N(d₂)/σ√T + skew项
实践中：
用 tight Call Spread 复制数字期权
Digital ≈ [C(K−ε) − C(K+ε)] / (2ε)
Payoff 基于标的资产价格的路径平均值，而非到期现货价格。因为平均化降低了波动率，Asian option 比 Vanilla 便宜约 1/√3（对于算术平均）。
Payoff = max(Ā − K, 0)，Ā = (1/n)Σ S_ti
Geometric Average（解析解）:
Ā_geo = exp((1/n)Σ ln S_ti)
σ_Asian = σ · √((2n+1)/(6(n+1)))
≈ σ/√3 （连续时）
用 BSM 代入 σ_Asian 即可
Turnbull-Wakeman 矩匹配近似
匹配 Ā_arith 的一阶和二阶矩
σ_TW ≈ σ/√3 + skewness correction
应用：
商品（石油、天然气）市场常用
减少 expiry manipulation risk
期末集中结算 → 平均化更公平
Payoff 基于标的资产在整个存续期内的最高或最低价格，是"买到最低、卖到最高"的期权。比 Asian 更贵，Vega 最大。
Payoff = S_T − min(S_t), t∈[0,T]
Fixed Strike Lookback Call:
Payoff = max(max(S_t) − K, 0)
Goldman-Sosin-Gatto (1979) 解析公式
Vega 最高（对 vol 最敏感）
Lookback 包含了所有可能的 vanilla 期权
= 一篮子 vanilla 的上包络
价格 ≈ 2 × ATM Straddle (rough approximation)
应用：
结构化产品（保本型）
对冲基金业绩费（High-water mark = Lookback）
最纯粹的波动率交易工具，payoff 直接与已实现方差/波动率挂钩，无需 Delta 对冲。Variance Swap 是 vol surface 的完美复制产品。
Payoff = N · (σ²_realized − K_var)
K_var = Fair Strike（=VIX²近似）
σ²_realized = (252/N) · Σ(ln S_{i+1}/S_i)²
优点：Vega 为常数（dollar vega恒定）
复制：OTM options weighted by 1/K²
Payoff = N · (σ_realized − K_vol)
K_vol ≠ √K_var（Jensen 不等式）
K_vol < √K_var（convexity adjustment）
Gamma Swap:
Payoff = Σ(S_i/S_0)·(ln S_{i+1}/S_i)²
加权方差互换，Gamma 为常数
商品期权 · Commodity Options
商品期权的标的通常是期货价格（而非现货），用 Black-76 模型定价。商品 vol 结构独特：现货 vol 极高，远期 vol 较低（均值回复）。
C = e^(−rT) · [F·N(d₁) − K·N(d₂)]
d₁ = [ln(F/K) + ½σ²T] / (σ√T)
F: 期货价格（可观测）
无需 carry/convenience yield
Spread Options（价差期权）:
Payoff = max(F₁ − F₂ − K, 0)
Margrabe 公式（K=0时解析）
Backwardation in vol curve（现货vol高）
Samuelson effect: 近月期货vol > 远月
季节性 vol（天然气冬季 vol 高）
关键品种:
WTI/Brent 原油期权（NYMEX）
天然气期权（HH）
贵金属（黄金/白银）
农产品（玉米/大豆/小麦）
衍生品横向对比
| 衍生品 | 标的 | 定价模型 | 关键 Vol | 主要 Greeks | 市场用途 |
|---|---|---|---|---|---|
| Equity Option | 股价/指数 | BSM, Local Vol, Heston | Equity IV Surface | Δ,Γ,ν,Θ | 对冲,投机,VRP |
| Swaption | Swap Rate | Black-76, SABR | Swaption Matrix | DV01,Gamma,Vega | 利率风险管理 |
| Cap/Floor | LIBOR/SOFR | Black-76 (each caplet) | Cap Vol Curve | DV01,Gamma | 贷款利率对冲 |
| CDS Option | CDS Spread | Black-76 (credit) | Credit Vol | CS01,Gamma,JTD | 信用 vol 交易 |
| FX Option | 汇率 | Garman-Kohlhagen | 25Δ RR+BF Matrix | Δ,ν,Vanna | 汇率风险管理 |
| Barrier Option | 股价/汇率 | BSM+Local Vol | Skew critical | Γ极端,Vanna | 结构化产品 |
| Asian Option | 路径均值 | TW近似/MC | σ/√3 approx | 低Γ,低ν | 商品结算 |
| Variance Swap | 已实现方差 | Model-free replication | Vol Surface整体 | 恒定Vega,Γ∝1/S² | 纯vol交易 |
| Commodity Option | 期货价格 | Black-76 | Futures Vol Curve | Δ,Γ,ν (Samuelson) | 能源风险管理 |
所有这些衍生品，本质上都是在不同形式的 vol surface 上做交易。股票期权有 IV(K,T)，利率市场有 Swaption Matrix σ(Expiry, Tenor)，FX 有 25Δ Vol Matrix。系统化波动率交易的核心在于：识别这些 vol surface 上的相对价值错误定价，并用希腊字母中性的方式构建头寸，捕获 vol 回归或 vol 溢价收益。
SYSTEMATIC VOLATILITY TRADING — COMPLETE REFERENCE
Black-Scholes · Greeks · Vol Surface · PCP · Strategies · Hedging · Risk · Derivatives
Princeton MFin · Quantitative Finance