设A、B两家公司各自选择投放广告(Advertise)或不投放(No Ad)：

对A：无论B选什么，Advertise ≥ No Ad（3>1 且 5>4）→ Advertise 严格占优

对B：同理，Advertise 严格占优

结论：均衡 (Advertise, Advertise)，收益 (3,3)——典型囚徒困境结构。合作(No Ad, No Ad)可以给双方更高收益(4,4)，但均衡是次优的。

• A的最优反应：B选Left → A选Up（2>0）；B选Right → A选Down（1>0）

• B的最优反应：A选Up → B选Left（1>0）；A选Down → B选Right（2>0）

纯策略NE：(Up, Left) 和 (Down, Right) —— 两个均衡，是典型协调博弈。

注意：还存在一个混合策略NE（见Section 4）。

A选正/反，B猜正/反。猜对B赢1元，猜错A赢1元（零和博弈）：

无纯策略NE（无论哪个格，某方想偏离）。

求混合NE：设 A 以概率 p 出正；B 以概率 q 猜正。

均衡：双方各以 1/2 随机选择，期望收益均为 0。

无纯策略NE（请验证：每格都有人想偏离）。

求 A 的混合策略：让 B 对 Left/Right 无差异。设 A 以概率 p 选 Up：

Wait: 让 B 无差异需要调整 A 的混合。重新：

这说明矩阵中 B 实际上有占优策略：Right 弱占优（2 vs 3, 3 vs 4），等等——

删除 B:Left，A 在 (Up:0, Down:1) 中选 Down。

唯一纯策略NE = (Down, Right)，收益 (1,4)。这说明先用 IESDS 再找NE 更高效。

夫妻二人选择看足球(F)或看歌剧(O)：

纯策略NE：(F,F) 和 (O,O)。

混合策略NE：设 A 以概率 p 选 F，B 以概率 q 选 F：

总结：3个均衡 — (F,F), (O,O), 和混合策略(2/3, 1/3)。

做市商之间存在囚徒困境结构：若所有做市商都把 spread 缩到极小，利润极低（类似 P,P）；若某人保持较宽 spread 其他人缩小，后者抢走订单（T vs S）。

但在重复博弈中（每天持续交易），触发策略（Grim Trigger）可维持合作——若有人压缩 spread，其他人立刻报复，使压缩者长期收益下降。因此现实中 spread 保持在某个有利润的水平，不会竞争到零。

设 A 以概率 p 选直行(D)，让 B 对 D/C 无差异：

由对称性 q = 1/10。混合NE：双方各以1/10概率直行，9/10概率转向。

期望收益：B = -1/10 = -0.1（小负数，但好过撞车）

在位者(I) vs 进入者(E)：E 先决定进入(In)或不进(Out)，I 然后决定对抗(F)或默许(A)。

逆向归纳：

SPNE = (In, Accommodate)，收益 (1, 1)

注意：I 威胁"你进来我就打"是不可信威胁，因为真进来后 I 自己也受损，不会执行。SPNE 消除了这种威胁。

A和B轮流决定：在自己回合选 Stop(S) 或 Pass(P)。每轮 Pass 使总收益增长但分配给下一个人更多。

逆向归纳：

SPNE：A 在第一回合就 Stop，收益(2,0)。

Stackelberg 领导者博弈（产量竞争）：

Leader 先设产量 q₁，Follower 观察后设 q₂。市场价格 P = 100 - q₁ - q₂，零成本。

Cournot（同时）均衡：q₁=q₂=100/3≈33.3，各得约1111。

先动优势：Leader 收益 1250 > Cournot 1111，先行承诺有利。

无限重复囚徒困境，收益：合作(C,C)得 R=3，背叛得 T=5，惩罚得 P=1。

Grim Trigger 策略：从合作开始，一旦有人背叛，永远背叛。

结论：当贴现因子 δ ≥ 1/2（即玩家足够有耐心），Grim Trigger 可维持合作均衡。

n=2，v~U[0,100]，最优报价公式：

即：出自己估值的一半。

验证：对手报价 b' = v'/2，v'~U[0,100]，期望收益：

卖家期望收益 = E[第二高估值] = E[min(v₁,v₂)] = 100/3 ≈ 33.3

（与二价拍卖等价，验证RET）

场景：石油开采权拍卖，真实价值 V 对所有人相同但未知。每个竞标者得到含噪声的信号 sᵢ = V + εᵢ，其中 εᵢ~N(0,σ²) 独立。

Winner's Curse：赢得拍卖意味着你的信号是最高的，而最高信号往往高估了真实价值。

金融中的 Winner's Curse：

• IPO 认购：机构对热门 IPO 的分配往往意味着机构不想要该股票（逆向选择）
• 并购溢价：收购成功往往意味着你出价最高，可能高估了协同效应
• 做市商：成交说明对方有信息优势（Adverse Selection）

参与者：知情交易者(Insider)、噪声交易者(Noise Traders)、做市商(MM)。

均衡性质：

• 内幕交易者分散交易（不一次性全押），以免价格过快反映信息
• 做市商根据观察到的总订单流（知情+噪声）推断信息，调整价格
• 均衡价格线性：P = μ + λ·Q（λ = 市场冲击系数，Kyle's Lambda）

资产价值 = 掷一个公平骰子的点数，真实期望 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5。

基础报价：Bid = 3.0，Ask = 4.0（spread = 1）

追问：对手下注方向有信息时如何调整？

• 若对方反复买（Ask方向），可能他知道点数高 → 上调 Bid/Ask
• 若对方反复卖（Bid方向），可能他知道点数低 → 下调 Bid/Ask
• 贝叶斯更新：若有人买，P(点数≥4|买) > 0.5 → 提升中心估计

假设：以概率 μ 遇到知情交易者，以概率 1-μ 遇到噪声交易者。

资产真实值：高概率时为 V_H，低概率时为 V_L，先验期望 E[V] = V₀。

关键结论：逆向选择越严重（μ↑）或资产不确定性越大（V_H-V_L↑），最优spread越宽。

River bet：底池100，你下注50（总底池变150）。

对手视角的底池赔率：call 50 赢 150，需要胜率 ≥ 50/150 = 1/3。

即对手在你 Bluff 概率 > 1/3 时应该 call；≤1/3 时 fold 是正确的。

2人，各有1张牌，J/Q/K等概率各1/3。下注规则：可 Bet 1 或 Check。只有一轮下注。

高牌赢1元。问：持有Q的玩家应以多大概率 Bet？

这类题的关键不在精确计算，而在于展示博弈论思维：识别强/弱/中间手牌的不同策略角色，用混合NE分析最优频率。

卖家拍卖物品，买家估值 v ∈ {高:10, 低:5}，各概率1/2，私有信息。一价密封拍卖，两个买家。

BNE = {高类型出5，低类型出2.5}。

强类型(S)和弱类型(W)求职者，以概率0.5各出现。发信号：大学学历(E)或不上学(N)，教育本身无生产价值。雇主决定高薪(H)或低薪(L)：

Spence 信号博弈的核心洞见：成本优势使得高类型能通过"昂贵信号"与低类型区分。

100人各猜0-100的整数，猜中所有人猜测平均值2/3的获胜。你猜多少？

实验结果：大多数人在 Level 2-3，答案在 22-33 区间。纳什均衡是0，但实际人不到那个层次。

金融应用："股票价格不是资产真实价值，而是市场对他人预期的预期。"（Keynes 选美理论）→ 动量、泡沫形成的理论基础。

100个按级别排序的海盗分1000枚金币。最高级提方案，严格多数通过则执行，否则他被扔海里，下一个提。问：第1个海盗怎么提才能存活并最多得金币？

答案：海盗1提 (1,0,1,0,...,1,0,951)，给所有偶数位置各1枚，自己拿951。

关键：逆向归纳 + 每人只需要刚好超过半数的票。

A命中率=100%，B=75%，C=50%。轮流射击，先被击中的出局。问：C的最优策略？

教训：在多方博弈中，最弱者通过"让强者先互斗"可以提高生存率。

二手车市场（Lemons Problem，Akerlof 1970）：

• 好车价值8000，坏车(lemon)价值4000，各占50%
• 买家不能区分，愿意出均值 = 6000
• 好车卖家知道自己车好，6000 < 8000 → 不卖
• 市场上只剩坏车 → 买家调低期望到4000 → 好车进一步退出
• 市场失灵：逆向选择导致好车无法在市场上交易

解决方案：信号（保修、车检）、担保机制（信誉）、第三方认证

你和陌生人需要在纽约市见面，但无法联系。你们会在哪里？什么时间？

经典答案：中央车站，正午12:00。

这就是 Schelling Point：在没有沟通的情况下，理性人会选择"显著"的答案，因为他们预期对方也会选它。

所有参与者都支付自己的出价，只有最高出价者获奖。（如选举广告、研发竞赛、诉讼）

直觉：all-pay 下每人出价更保守（知道必须付钱），恰好抵消了输家也付钱的额外收益，期望总付款不变。

你面前有两个信封，一个金额是另一个的2倍。你打开一个，里面是100元。要不要换？

面试中展示对悖论的清醒认识比"换"或"不换"更重要。