Antithetic Variable（对偶变量法）

 
对偶变量
 

🧩 一、核心思想

在蒙特卡洛模拟中，我们通常通过生成独立随机样本 ( ) 来估计期望：
其方差为
目标：在样本量 ( n ) 固定的情况下，降低估计量的方差。
Antithetic Variable方法就是通过引入负相关的样本来抵消波动，从而降低方差。
 

🧠 二、基本原理

设 ( )，我们要模拟某个函数 ( ) 的期望：
Antithetic变量法的关键是：
同时使用 ( U ) 和 ( 1 - U ) 作为输入，而不是两个独立的 ( )。
于是估计量改写为：
这样做的好处是：
  • () 与 ( ) 负相关。
  • 如果 ( f ) 是单调递增函数，则 ) 与 ( ) 也负相关。
  • 两者求平均后，可以部分抵消波动。
直觉：如果 ( ) 在某次模拟中取了偏大的值，那么 ( ) 很可能取偏小的值，二者平均更稳定。

🧮 三、数学解释

估计量方差：
展开：
由于负相关，，因此方差下降。

🎯 四、举例说明

🌰 示例：估计 ( )

普通蒙特卡洛估计：
对偶变量法：

对比直觉：

平均值
0.1
0.9
1.105
2.46
1.78
0.8
0.2
2.23
1.22
1.73
→ 波动被削弱。

📉 五、代码示例

import numpy as np

# 估计 E[e^U], U~Uniform(0,1)
n = 10000
U = np.random.rand(n)

# 普通蒙特卡洛
mc_est = np.mean(np.exp(U))

# 对偶变量
anti_est = np.mean((np.exp(U) + np.exp(1-U)) / 2)

# 理论值
true_val = np.e - 1

print(f"True Value: {true_val:.6f}")
print(f"Standard MC estimate: {mc_est:.6f}")
print(f"Antithetic MC estimate: {anti_est:.6f}")

# 比较方差
num_trials = 1000
mc_var = np.var([np.mean(np.exp(np.random.rand(n))) for _ in range(num_trials)])
anti_var = np.var([np.mean((np.exp(U := np.random.rand(n)) + np.exp(1-U)) / 2) for _ in range(num_trials)])

print(f"Var(MC): {mc_var:.6e}")
print(f"Var(Antithetic): {anti_var:.6e}")
print(f"Variance Reduction Ratio: {mc_var / anti_var:.2f}")
 

🔍 六、应用场景

  • 期权定价（Black-Scholes）：在模拟随机路径时，用 ( Z ) 和 ( -Z ) 生成镜像路径。
  • 置信区间估计：减少估计不确定性。
  • 积分估计：对单调函数积分时尤其有效。
✅ 总结一句话：
Antithetic Variable 方法通过使用互为镜像（负相关）的随机样本，使得模拟结果波动互相抵消，从而降低蒙特卡洛估计的方差，提升精度。