下面给你一个非常 系统、面试友好又数学严谨 的总结，涵盖：
- 泰勒展开（Taylor series）
- 麦克劳林展开（Maclaurin series）
- 使用条件、误差项、常见例子
你直接背这个就能应付数学、概率、算法分析（如 birthday problem 近似）里的各种问题。
⭐ 1. 泰勒展开（Taylor series）是什么？
定义（以 f 在 x=a 展开）
假设函数 (f) 在点 (a) 附近无限可导，则它可以写成：
[
]
这是 函数在 a 点处的无穷次多项式近似。
如果只保留前几项（n 阶），就得到 n 阶泰勒多项式：
误差项（拉格朗日余项）：
⭐ 2. 麦克劳林展开（Maclaurin series）
麦克劳林展开是 泰勒展开在 a = 0 的特例。
本质上就是：
⭐ 3. 常见的麦克劳林展开（必须背）
(1) 指数函数
(2) 对数函数
(3) 倒数 / 几何级数
(4) 正弦
(5) 余弦
⭐ 4. 常见近似（算法分析最常用）
(1) （当 x→0）
取第一项即近似。
用途：哈希碰撞、生日悖论、概率近似。
(2) （x 很小时）
取前两项。
用途：泊松分布近似、极限定律。
(3) （当 x 很小）
这是概率论常用的等价（来自对数展开）：