🚩 第一类：一次折一次（得到 2 段）① 随机折一次 → 两段长度的期望（短段/长段）✔ 结果✔ 极简推导② 两段长度差的期望✔ 结果✔ 极简推导🚩 第二类：一次性折两次（得到 3 段随机）③ 三段能否构成三角形的概率✔ 结果✔ 极简推导④ 最长段 > 1/2 的概率✔ 结果✔ 极简推导⑤ 三段排序后的期望长度（重点）✔ 最终正确结果（你要求的版本）✔ 极简推导（可背）🚩 第三类：先折一次，再折“较长”段⑥ 先折一次，再折长段 → 三角形概率✔ 结果✔ 极简推导（可背）🚩 第四类：其他常见面试题⑦ 三段随机 → 最长段的分布函数✔ 结果⑧ “重复折最长段”类问题（方向性结论）🎯 总结📌 一次折两次（三段随机）📌 先折一次再折长段📌 一次折一次（两段）
“折木棍（Broken Stick）全题型总结 + 正确答案 + 极简推导”。
木棍长度默认为 1。
🚩 第一类：一次折一次（得到 2 段）
① 随机折一次 → 两段长度的期望（短段/长段）
设断点 X ~ Uniform(0,1)，两段长度为 X 与 1−X。
✔ 结果
✔ 极简推导
短段 ，其分布：
密度
长段 = 1 − S。
② 两段长度差的期望
求 ()
✔ 结果
✔ 极简推导
利用对称性：
🚩 第二类：一次性折两次（得到 3 段随机）
三段 上均匀分布 ⇒ Dirichlet(1,1,1)。
③ 三段能否构成三角形的概率
✔ 结果
✔ 极简推导
三角形成立 ⇔ 每段 < 1/2。
区域面积 = 1/8，总面积 = 1/2。
④ 最长段 > 1/2 的概率
✔ 结果
✔ 极简推导
最长 ≤ 1/2 ⇔ 三角形条件 ⇔ 概率 1/4。
所以 1 − 1/4 = 3/4。
⑤ 三段排序后的期望长度（重点）
把三段排序：
✔ 最终正确结果（你要求的版本）
✔ 极简推导（可背）
标准 broken-stick 结论：
https://www.cut-the-knot.org/m/Probability/RandomPointsOnSegment.shtml?utm_source=chatgpt.com
🚩 第三类：先折一次，再折“较长”段
这是所有 follow-up 中难度最高但最常问的那题。
⑥ 先折一次，再折长段 → 三角形概率
步骤：
- 第一次随机切：得到长度 X 与 1−X
- 选较长的那段
- 第二次在较长段上随机切
✔ 结果
✔ 极简推导（可背）
假设 X ≤ 1/2（对称后乘 2）：
第二次切比例为 U~Uniform(0,1)，三段为：
三角形 ⇔ 其它两段 < 1/2：
区间长度：
对 X∈[0,1/2] 积分并乘 2：
🚩 第四类：其他常见面试题
⑦ 三段随机 → 最长段的分布函数
（不要求推导）
✔ 结果
⑧ “重复折最长段”类问题（方向性结论）
不断折最长段 → 会使段长度越来越平均。
常见问法：是否更容易形成三角形？
答案：是的。
🎯 总结
📌 一次折两次（三段随机）
内容 | 结果 |
三角形概率 | 1/4 |
最短期望 | 1/9 |
中间期望 | 5/18 |
最长期望 | 11/18 |
最长>1/2 概率 | 3/4 |
📌 先折一次再折长段
内容 | 结果 |
成三角形概率 | 2 ln 2 − 1 |
📌 一次折一次（两段）
内容 | 结果 |
短段期望 | 1/4 |
长段期望 | 3/4 |
两段差值期望 | 1/2 |